Contents

Chapter I. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Population Growth Models, One Population . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Iteration of Real Valued Functions as Dynamical Systems . . 3 1.3 Higher Dimensional Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Outline of the Topics of the Chapters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chapter II. One-Dimensional Dynamics by Iteration . . . . . . . 13 2.1 Calculus Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 *2.2 Periodic Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

*2.2.1 Fixed Points for the Quadratic Family . . . . . . . . . . . 20 *2.3 Limit Sets and Recurrence for Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 *2.4 Invariant Cantor Sets for the Quadratic Family . . . . . . . . . . . . 26

*2.4.1 Middle Cantor Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 *2.4.2 Construction of the Invariant Cantor Set . . . . . . . . . 30 2.4.3 The Invariant Cantor Set for μ > 4. . . . . . . . . . . . . . . 33

*2.5 Symbolic Dynamics for the Quadratic Map . . . . . . . . . . . . . . . . 38 *2.6 Conjugacy and Structural Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 *2.7 Conjugacy and Structural Stability of the Quadratic Map . . 47 2.8 Homeomorphisms of the Circle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Chapter III. Chaos and Its Measurement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1 Sharkovskii’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Examples for Sharkovskii’s Theorem . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Subshifts of Finite Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Zeta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4 Period Doubling Cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5 Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6 Liapunov Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Chapter IV. Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1 Review: Linear Maps and the Real Jordan Canonical Form. 95 *4.2 Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 *4.3 Solutions for Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 *4.4 Phase Portraits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 *4.5 Contracting Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 *4.6 Hyperbolic Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 *4.7 Topologically Conjugate Linear Differential Equations . . . . . . 115 *4.8 Nonhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 *4.9 Linear Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.9.1 Perron-Frobenius Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Chapter V. Analysis Near Fixed Points and Periodic Orbits 133

* Core Sections

*5.1 Review: Differentiation in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . 133 *5.2 Review: The Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

*5.2.1 Higher Dimensional Implicit Function Theorem . . 138 *5.2.2 The Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 *5.2.3 Contraction Mapping Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

*5.3 Existence of Solutions for Differential Equations. . . . . . . . . . . . 142 *5.4 Limit Sets and Recurrence for Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 *5.5 Fixed Points for Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . 151

*5.5.1 Nonlinear Sinks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 *5.5.2 Nonlinear Hyperbolic Fixed Points . . . . . . . . . . . . . . . 155 *5.5.3 Liapunov Functions Near a Fixed Point . . . . . . . . . . 156

*5.6 Stability of Periodic Points for Nonlinear Maps . . . . . . . . . . . . 158 5.7 Proof of the Hartman-Grobman Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

*5.7.1 Proof of the Local Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.7.2 Proof of the Hartman-Grobman Theorem for Flows 167

*5.8 Periodic Orbits for Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.8.1 The Suspension of a Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.8.2 An Attracting Periodic Orbit for the

Van der Pol Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.8.3 Poincaré Map for Differential Equations

in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

*5.9 Poincaré-Bendixson Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 *5.10 Stable Manifold Theorem for a Fixed Point of a Map. . . . . . . 183

5.10.1 Proof of the Stable Manifold Theorem . . . . . . . . . . . 187 5.10.2 Center Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 *5.10.3 Stable Manifold Theorem for Flows . . . . . . . . . . . . . . 202

*5.11 The Inclination Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Chapter VI. Hamiltonian Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1 Hamiltonian Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.2 Linear Hamiltonian Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.3 Symplectic Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.4 Normal Form at Fixed Point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.5 KAM Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Chapter VII. Bifurcation of Periodic Points . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.1 Saddle-Node Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.2 Saddle-Node Bifurcation in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . 239 7.3 Period Doubling Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 7.4 Andronov-Hopf Bifurcation for Differential Equations . . . . . . 249 7.5 Andronov-Hopf Bifurcation for Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . 256 7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Chapter VIII. Examples of Hyperbolic Sets and Attractors 263

*8.1 Definition of a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 *8.1.1 Topology on Space of Differentiable Functions …. 265 *8.1.2 Tangent Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 *8.1.3 Hyperbolic Invariant Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 *8.2 Transitivity Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 *8.3 Two-Sided Shift Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

* Core Sections

8.3.1 Subshifts for Nonnegative Matrices. . . . . . . . . . . . . . . 275

*8.4 Geometric Horseshoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.4.1 Horseshoe for the Hénon Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 *8.4.2 Horseshoe from a Homoclinic Point . . . . . . . . . . . . . . 287 8.4.3 Nontransverse Homoclinic Point. . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 *8.4.4 Homoclinic Points and Horseshoes for Flows. . . . . . 299 8.4.5 Melnikov Method for Homoclinic Points . . . . . . . . . . 302 8.4.6 Fractal Basin Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

*8.5 Hyperbolic Toral Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

8.5.1 Markov Partitions for Hyperbolic Toral

Automorphisms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.5.2 Ergodicity of Hyperbolic Toral Automorphisms… 320 8.5.3 The Zeta Function for Hyperbolic Toral Automor-

phisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

*8.6 Attractors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 *8.7 The Solenoid Attractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

8.7.1 Conjugacy of the Solenoid to an Inverse Limit …. 333 8.8 The DA Attractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

8.8.1 The Branched Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

*8.9 Plykin Attractors in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 8.10 Attractor for the Hénon Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.11 Lorenz Attractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

8.11.1 Geometric Model for the Lorenz Equations . . . . . . . 347 8.11.2 Homoclinic Bifurcation to a Lorenz Attractor …. 353

*8.12 Morse-Smale Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 8.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Chapter IX. Measurement of Chaos in Higher Dimensions 369

9.1 Topological Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 9.1.1 Proof of Two Theorems on Topological Entropy . . 379 9.1.2 Entropy of Higher Dimensional Examples . . . . . . . . 386

9.2 Liapunov Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 9.4 Sinai-Ruelle-Bowen Measure for an Attractor . . . . . . . . . . . . . . 392 9.4 Fractal Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

Chapter X. Global Theory of Hyperbolic Systems . . . . . . . . . . 403

10.1 Fundamental Theorem of Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . 403

10.1.1 Fundamental Theorem for a Homeomorphism …. 410 10.2 Stable Manifold Theorem for a Hyperbolic Invariant Set. … 411 10.3 Shadowing and Expansiveness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 10.4 Anosov Closing Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 10.5 Decomposition of Hyperbolic Recurrent Points . . . . . . . . . . . . . 419 10.6 Markov Partitions for a Hyperbolic Invariant Set . . . . . . . . . . . 425 10.7 Local Stability and Stability of Anosov Diffeomorphisms … 435 10.8 Stability of Anosov Flows. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 10.9 Global Stability Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 10.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Chapter XI. Generic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

* Core Sections

11.1 Kupka-Smale Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 11.2 Transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 11.3 Proof of the Kupka – Smale Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 11.4 Necessary Conditions for Structural Stability. . . . . . . . . . . . . . . 461 11.5 Nondensity of Structural Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Chapter XII. Smoothness of Stable Manifolds and

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 12.1 Differentiable Invariant Sections for Fiber Contractions. . . . . 469 12.2 Differentiability of Invariant Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 12.4 Differentiability of the Center Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 12.4 Persistence of Normally Contracting Manifolds . . . . . . . . . . . . . 480 12.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501